Как построить график модуля функции и график корня

 

График и свойства функции у = ¦ах ¦ (модуль)

Рассмотрим функциюу = ¦ах ¦, где а - определенное число.

Областью определения функции у = ¦ах ¦, является множество всех действительных чисел. На рисунке изображены соответственно графики функций у = ¦х ¦, у = ¦ ¦, у = ¦х /2¦.

Можно заметить, что график функции у = | ах | получается из графика функции у = ах. если отрицательную часть графика функции у = ах (она находится ниже оси Ох ), отразить симметрично этой оси.

По графику легко усмотреть свойства функции у = ¦ ах ¦.

При х = 0, получаем у = 0, то есть графику функции принадлежит начало координат; при х = 0, получаем у > 0, то есть все другие точки графика лежат выше оси Ох .

Для противоположных значений х. значения у будут одинаковыми; ось Оу это ось симметрии графика.

К примеру, можно построить график функции у = ¦х 3 ¦. Чтобы сравнить функции у = ¦х 3 ¦и у = х 3. составим таблицу их значений при одинаковых значениях аргументов.

Из таблицы видим, что для того, чтобы построить график функции у = ¦х 3 ¦, можно начать с построения графика функции у = х 3. После этого стоит симметрично оси Ох отобразить ту его часть, которая находится ниже этой оси. В результате получим график, изображенный на рисунке.

График и свойства функции у = x 1/2 (корень)

Рассмотрим функцию у = x 1/2 .

Областью определения этой функции является множество неотрицательных действительных чисел, так как выражение x 1/2 имеет значение только прих > 0.

Построим график. Для составления таблицы ее значений используем микрокалькулятор, округляя значения функции до десятых.

После нанесения на координатную плоскость точек, и плавного их соединения, получаем график функции у = x 1/2 .

Построенный график позволяет сформулировать некоторые свойства функции у = x 1/2 .

При х = 0, получаему = 0; при х > 0, получаем у > 0; график проходит через начало координат; остальные точки графика расположены в первой координатной четверти.

Доказательство. Графиком функции у = х 2. где х > 0, является ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Пусть точка Р (а ; b ) — произвольная точка этого графика. Тогда истинно равенство b = а 2. Поскольку по условию число а неотрицательное, то истинно также и равенство а = b 1/2. А это означает, что координаты точки Q (b ; а ) превращают формулу у = x 1/2 в истинное равенство, или иначе, точка Q (b ; а ) принадлежит графику функции у = x 1/2 .

Так же доказывается, что если точка М (с ; d ) принадлежит графику функции у = x 1/2. то точка N (d ; с ) принадлежит графику у = х 2. где х > 0.

Получается, что каждой точке Р (а ; b ) графика функции у = х 2. где х > 0, соответствует единственная точка Q (b ; а ) графика функции у = x 1/2 и наоборот.

Остается доказать, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричны относительно прямой у = х. Опустив перпендикуляры на координатные оси из точек Р и Q. получаем на этих осях точки Е (а ; 0), D (0; b ), F (b ; 0), С (0; а ). Точка R пересечения перпендикуляров РЕ и QC имеет координаты (а ; а ) и поэтому принадлежит прямой у = х. Треугольник PRQ является равнобедренным, так как его стороны RP и RQ равны ¦ bа ¦ каждая. Прямая у = х делит пополам как угол DOF. так и угол PRQ и пересекает отрезок PQ в определенной точке S. Поэтому отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ. Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, то PQ +RS и PS = QS. А это означает, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричные относительно прямой у = х .

Поскольку график функции у = x 1/2 симметричен графику функции у = х 2. где х > 0, относительно прямой у = х. то графиком функции у = x 1/2 является ветвь параболы.

 



  • На главную